Racionalización de radicales.

La racionalización es un proceso en el que se teinen que eliminar la raiz o raíces del denominador de una fracción.

Racionalizar una fracción con exponentes en el denominador es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello tendremos que multiplicar numerador y denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar, la raíz del denominador desaparezca.

Podemos distinguir 3 casos:

1. Racionalización del tipo 

Se multiplica el numerador y el denominador por 

Ejemplo:

2. Racionalización del tipo 

 Se multiplica numerador y denominador por .

Ejemplo:

3.Racionalización del tipo 

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplo: 

"La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles"  

René Descartes

Referencias : 

              http://www.vitutor.com/di/re/r17.html

              http://es.wikipedia.org/wiki/Racionalizaci%C3%B3n_de_radicales 

Raices

La raíz cuadrada de un número entero positivo es el valor positivo que elevado al cuadrado es igual a dicho número.

      

Ejemplo:  

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que todo número al cuadrado es positivo. 

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que , donde n se  llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:

.

Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:
.



Propiedades


Raiz de un producto

 La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente.





Raiz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

 = 


Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

 = 


Potencia de una raíz

Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.

Video explicación: 

Potencias

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados base y exponente. Se escribe aⁿ y se lee «a elevado a n» 

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: 



1. Las potencias de exponente par siempre son positivas 



2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo que la base


Propiedades: 

• La potencia de 0 es igual a 1

• La potencia de 1 es igual a ese mismo número

• Producto de potencias con la misma base. 

El resultado del producto será una potencia con la misma base, y exponente, la suma de los exponentes. 

• División de potencias de la misma base

El resultado del producto será una potencia con la misma base, y exponente, la resta de los exponentes. 

• Potencia de una potencia

 El resultado del producto será una potencia con la misma base, y exponente, el producto de los exponentes.

• Producto de potencias de igual exponente

El resultado es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

• Cociente de potencias con igual exponente

El resultado es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases

Aquí dejamos el video explicación: 

“El arte es la ciencia de la belleza, las matemáticas son la ciencia de la verdad” 

OSCAR WILDE

Referencias:  http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n

Triángulo de Pascal y Binomio de Newton

Lo primero que haremos será dejar un video explicación del Triángulo de Pascal. 

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal.

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejemplo: 

"La riqueza de un hombre no se encuentra en la cantidad de dinero que posee, sino en la calidad de su conocimiento y educación."

Javier Herrera

Referencias: 

                 http://www.vitutor.com/pro/1/a_11.html

                 http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal

Productos notables

Definimos productos notables como fórmulas que nos permiten desarrollar con facilidad algunas multiplicaciones de expresiones algebraicas, que con frecuencia nos vamos a encontrar. 

Los productos notables más importantes son : 

1. Binomio elevado al cuadrado


Un binomio al cuadrado (suma) es igual al cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo más el segundo al cuadrado. 

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b<sup>2

Por ejemplo:</sup> 
(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9




2. Binomio elevado al cubo 

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b<sup>3 

Por ejemplo:</sup>

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ = x³ + x² + 27x + 27

3. Suma de dos cantidades por su diferencia

La suma de dos cantidades por su diferencia, es igual a la diferencia de cuadrados. 

(a + b) · (a − b) = a² − b²

Por ejemplo: 

(2x + 5) · (2x - 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25



4. Trinomio elevado al cuadrado. 

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c


Por ejemplo: 

(x² − x + 1)² = (x²)² + (−x)² + 1² + 2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 ·(−x) · 1=

= x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x= x⁴ − 2x³ + 3x² − 2x + 1

“No hay rama de la matemática, por lo abstracta que sea , que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real”

Lobachevski

Resolución ecuaciones de primer grado.

¿Cómo definimos una ecuación?

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe)

Por ejemplo; 3x - 6 = 0 es una ecuación lineal o de primer grado. 

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1.  Se reducen los términos semejantes, cuando esto sea posible.

2. Cambio de miembro. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella, se colocan en el derecho.

3.  Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4.  Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita 

¿Cómo cambiar de miembro? 

Resolvamos la ecuación 3x - 6 = 0 

1. Reducimos los términos semejantes, cosa que no hace falta en este caso. 

2. Cambiamos de miembro. Dejamos los términos acompañados por la incógnita x en un miembro, y los términos independientes en el otro. En este caso tendríamos que cambiar de miembro el término independiente -6. Como está restando, al cambiar de miembro se convierte en el número opuesto, quedando la ecuación: 

                                                                                 3x = 6

3. Reducimos términos semejantes; en este caso no hace falta

4. Despejamos la incógnita x. Para ello dividimos ambos miembros de la ecuacón por el coeficiente de la incógnita, es decir, por 3. 

(3x)/3 = 6/3   ->  x = 2 

Por lo tanto x= 2 sería la solución de nuestra ecuación.  

Aquí dejamos un video del procedimiento de resolución de ecuaciones lineales.

"No te resistas a intentarlo, quizás algún día te arrepientas de no haberlo hecho". Anónimo

Referencias: http://www.profesorenlinea.cl/